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| Leonardo da Vinci (1452-1519), "El hombre de Vitrubio" (c.1490) El hombre de Vitrubio trata de definir, por medio de la simetría usada en la arquitectura, al hombre perfecto. Alrededor del dibujo, hay un texto en escritura especular, esto es como si hubiese sido reflejada en un espejo. Muchos han querido demostrar que el dibujo resuelve así un problema irresoluble: la cuadratura del círculo. |
Realizado con una limpieza no habitual, el dibujo de El hombre de Vitrubio es el resultado de una larga serie de mediciones escrupulosas, pero su origen se encuentra en los datos facilitados por Vitrubio (siglo I a. C.) en su obra "De architectura libri decem", que se basa, a su vez, en un sistema de medición griego conocido con el nombre de metrología.
Este sistema parte de la base de que la braza (orguía, en griego) que es la medida de los brazos extendidos tomada sobre el pecho, corresponde a la altura de un hombre adulto y debe dividirse según determinadas proporciones: las proporciones ideales del cuerpo humano esquematizadas por Leonardo da Vinci en El hombre de Vitrubio.
Phi: el número áureo (o número dorado)
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| Lawrence Alma-Tadema (1836-1912), "Phidias Showing the Frieze of the Parthenon to his Friends" (1868) Phi: el número áureo es un número irracional representado por dicha letra griega en honor del escultor griego Phidias (500-431 a. C.). Número irracional es un número que no puede ser expresado como una fracción y que su expresión decimal no es exacta ni periódica. La planta del Parthenon es un rectángulo en el que la relación entre el lado menor y el mayor representa el número áureo. Se considera que el bello templo del Parthenon (Atenas, Grecia), construido entre 447-432 a. C., fue concebido por Phidias. |
¿Cómo se nos ocurrió dar un símbolo a la nada?
El concepto de cero roza la metafísica: es una nada que, bajo ciertas condiciones, hace que otros números cambien de valor.
Es la base del sistema de numeración posicional, en el que el valor de cada guarismo no depende de él mismo, sino del lugar que ocupa dentro del número total.
Número: término con el el que se indica cada uno de los elementos abstractos que componen una sucesión ordenada.
Numeración: representación de los números y, sobre todo, de los números naturales (enteros, positivos) mediante un sistema finito de símbolos.
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| "Cuneiform script" Sistema de escritura cuneiforme (3400-3200 a. C.) |
con una cantidad finita de símbolos, representar un número natural cualquiera, aunque éste sea elevado.
Aquí radica la diferencia entre un ser primitivo o un niño y un ser humano civilizado.
Mientras aquéllos disponen de una colección fija de cosas o símbolos para contar y ordenar los conjuntos, y los que superan esta colección numérica son para ellos inaccesibles, esto es infinitos, la civilización ha creado no un conjunto infinito de números, sino un principio general para engendrar una sucesión de símbolos, de los que surge una sucesión de entes abstractos que reciben el nombre de números naturales.
La mente humana no puede ir creando sucesivamente estos números uno tras otro, pues esta capacidad creadora tiene un límite restringido, y existen conjuntos en la naturaleza, tales como los átomos de un cuerpo, las estrellas, etc., para los que sería insuficiente esta colección de números creada o imaginada.
Desde épocas muy remotas, y ciertamente cuando comenzó la cría de ganado, los seres humanos utilizaron símbolos gráficos:
la muesca o bastoncillo para indicar el cinco; la figura de dos manos para indicar el diez...
En los pueblos primitivos surgió la necesidad de contar, pero sólo sabían hacerlo con los dedos de las manos.
Por lo tanto, el once simbolizaba lo desconocido, lo inimaginable. En algunas culturas ancestrales tenía un significado mágico.
Detrás del diez existía un misterio, un abismo, el infinito.
De hecho, por ejemplo en euskera, el once (hamaika) tiene diferentes significados: once; muchos, muchas; muchísimo; infinidad...
Actualmente, aún se utilizan algunas frases que quizá suenen algo extrañas cuando se traducen al español. Literalmente:
"Hamaika ikustekoak jaio gara...!" ("¡Once para ver nacimos...!").
Cuando sucede un hecho insólito, o bien se oye o se ve algo increíble.
"Hamaika akats baditugu, ba...!" ("¡Once defectos ya tenemos, pues...!").
"Hamaika akats baditugu, ba...!" ("¡Once defectos ya tenemos, pues...!").
Cuando se expresa de manera irónica sentirse injustamente criticado.
Datos históricos
Los antiguos, en las creencias populares, y muchos pueblos primitivos, atribuían a algunos números un valor místico y sagrado.
Junto al tres, el número perfecto por excelencia es el siete, que también tiene especial importancia en muchas religiones de la tradición bíblica:
el universo se creó en siete días, los siete días de la semana, cuyos nombres en latín representan los siete planetas (lunae, martis, mercurii, jovis, veneris, saturni, solis), los siete sellos del Apocalipsis, los siete cielos del Islam, los siete pecados capitales, los siete mares, los siete metales, las siete notas musicales, los siete colores del arco-iris, las siete maravillas del mundo, las siete bellas artes, entre otros.
La razón podría ser que el siete resultara de la combinación de un número perfecto el 3 + el 4 número de los puntos cardinales, como síntesis absoluta de perfección.
Se considera también a otros números como dotados de especiales virtudes: el 5, el 9 (3 veces 3), el 10 (1+2+3+4), el 21 (3 veces 7, o 7 veces 3), el 33 y otros.
Pitágoras (569-475 a. C.) distinguía ya entre números pares, los cuales se pueden descomponer y por lo tanto son ilimitados, imperfectos, y según él representarían el mal.
Y los números impares, limitados, perfectos, que representarían el bien.
El cero es un invento relativamente moderno. No lo conocían ni babilonios, ni chinos, ni egipcios, ni las civilizaciones mediterráneas, griegos o romanos, que utilizaban sistemas de numeración agregativos. En ellos, las cifras del número se suman entre sí (por ejemplo, MCCXXXVIII es igual a 1.238).
Hacia el año 650, en la India nació el cero que conocemos.
Datos históricos
Los antiguos, en las creencias populares, y muchos pueblos primitivos, atribuían a algunos números un valor místico y sagrado.
Junto al tres, el número perfecto por excelencia es el siete, que también tiene especial importancia en muchas religiones de la tradición bíblica:
el universo se creó en siete días, los siete días de la semana, cuyos nombres en latín representan los siete planetas (lunae, martis, mercurii, jovis, veneris, saturni, solis), los siete sellos del Apocalipsis, los siete cielos del Islam, los siete pecados capitales, los siete mares, los siete metales, las siete notas musicales, los siete colores del arco-iris, las siete maravillas del mundo, las siete bellas artes, entre otros.
La razón podría ser que el siete resultara de la combinación de un número perfecto el 3 + el 4 número de los puntos cardinales, como síntesis absoluta de perfección.
Se considera también a otros números como dotados de especiales virtudes: el 5, el 9 (3 veces 3), el 10 (1+2+3+4), el 21 (3 veces 7, o 7 veces 3), el 33 y otros.
Pitágoras (569-475 a. C.) distinguía ya entre números pares, los cuales se pueden descomponer y por lo tanto son ilimitados, imperfectos, y según él representarían el mal.
Y los números impares, limitados, perfectos, que representarían el bien.
El cero es un invento relativamente moderno. No lo conocían ni babilonios, ni chinos, ni egipcios, ni las civilizaciones mediterráneas, griegos o romanos, que utilizaban sistemas de numeración agregativos. En ellos, las cifras del número se suman entre sí (por ejemplo, MCCXXXVIII es igual a 1.238).
Hacia el año 650, en la India nació el cero que conocemos.
Es difícil determinar quién fue su inventor, quizá Brahmagupta (598-665) a finales del siglo VI.
Algunos de los más grandes matemáticos hindúes pusieron los cimientos de buena parte de la aritmética moderna entre los los siglos VI y IX de nuestra era.
En Gwator, población situada a unos 400 km al sur de Delhi (India), se descubrió una inscripción en piedra del año 876. Es la primera aparición documentada de cero.
Se sabe que los Mayas, civilización precolombina de América central, conocían el cero, pero no lo usaban para realizar cálculos, sino como símbolo en sus ritos religiosos.
¿Qué relaciona un planeta y una gota de lluvia?
¿Cuánto mide una circunferencia?
Probablemente Pi es el número más famoso de la historia.
Representa la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Es un número irracional, es decir, no se puede representar exactamente con una fracción.
El valor real del número Pi es: 3,14159265358979323846...) y así hasta el infinito, sin que la secuencia de cifras se repita jamás.
Aunque para la inmensa mayoría de la gente, Pi será siempre 3-14-16.
En 1706 el matemático inglés William Jones (1675-1749) propuso el nombre de Pi.
Parece ser que eligió esta letra griega por ser la equivalente a nuestra p de perímetro (el de la circunferencia).
Pero fue en 1748 cuando el suizo Leonhard Euler (1707-1783) le dio el espaldarazo definitivo empleando el término en su obra:
Algunos de los más grandes matemáticos hindúes pusieron los cimientos de buena parte de la aritmética moderna entre los los siglos VI y IX de nuestra era.
En Gwator, población situada a unos 400 km al sur de Delhi (India), se descubrió una inscripción en piedra del año 876. Es la primera aparición documentada de cero.
Se sabe que los Mayas, civilización precolombina de América central, conocían el cero, pero no lo usaban para realizar cálculos, sino como símbolo en sus ritos religiosos.
¿Qué relaciona un planeta y una gota de lluvia?
¿Cuánto mide una circunferencia?
Probablemente Pi es el número más famoso de la historia.
Representa la relación existente entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Es un número irracional, es decir, no se puede representar exactamente con una fracción.
El valor real del número Pi es: 3,14159265358979323846...) y así hasta el infinito, sin que la secuencia de cifras se repita jamás.
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| "Image Golden ratio line" El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: la longitud total a + b es al segmento más largo (a) como a es al segmento más corto (b). |
En 1706 el matemático inglés William Jones (1675-1749) propuso el nombre de Pi.
Parece ser que eligió esta letra griega por ser la equivalente a nuestra p de perímetro (el de la circunferencia).
Pero fue en 1748 cuando el suizo Leonhard Euler (1707-1783) le dio el espaldarazo definitivo empleando el término en su obra:
"Introducción al cálculo infinitesimal".
Pi aparece en todo lo que presenta forma de circunferencia, como por ejemplo las gotas de lluvia, las estrellas, los planetas, las burbujas de agua, las ondas de un estanque...
¿Tiene la armonía una expresión matemática?
Phi: el número áureo.
El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (300-265 a. C.), quien lo definió de la siguiente manera:
"Se dice que una recta ha sido cortada en extremo y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor"
No representa más que una proporción. Supongamos que dividimos una barra de un metro en dos trozos desiguales, de forma que la proporción entre la barra entera y el segmento mayor sea justamente la misma que entre éste y el menor.
Esa proporción es el número áureo.
El número áureo aparece en la naturaleza, desde la imbricación de las semillas en ciertas flores hasta la organización de esa especie de escamas en las piñas y otros frutos, la distribución de las hojas de un tallo, etc.
En el arte, la Grecia clásica empezó a considerar la proporción áurea como la máxima calidad estética de un diseño arquitectónico, escultórico o pictórico.
El número áureo es antiquísimo.
Su cálculo aparece ya en las obras del matemático griego Euclides
(IV-III a. C).
Sin embargo, en el siglo VI a. C., el filósofo griego Pitágoras, fundador de una secta místico-religiosa dedicada al estudio de las matemáticas, probablemente ya lo había investigado.
Los antiguos griegos se interesaron por Phi, en parte por su estrecha vinculación con la arquitectura y la escultura.
La geometría les permitía alcanzar la proporción entre las partes y el todo.
El edificio del Parthenon, levantado en la Atenas de Pericles (c.495-429 a. C.) es una de las primeras manifestaciones de la aplicación del número áureo en la arquitectura.
Por ejemplo, la distancia existente entre las columnas de su fachada es armónica.
De una belleza armónica es, asimismo, la diosa griega de la Victoria, de Paeonius de Mende (s. V a. C.), discípulo de Phidias.
Artistas matemáticos
El Renacimiento rescató de la Antigua Grecia las teorías geométricas aplicadas a la arquitectura y a la escultura.
Los artistas las enfocaron, sobre todo, en el hombre, considerado como la medida de todas las cosas.
Su relación con los matemáticos era muy estrecha. Un ejemplo lo hallamos en las figuras de Leonardo da Vinci y el matemático Luca Pacioli (c.1445-1517), autor de "La divina proporción". En esta obra, Pacioli propone un hombre perfecto, en el que las relaciones entre las partes de su cuerpo sean proporciones áureas.
Leonardo plasmó estas ideas en un dibujo, en el que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es Phi.
Es bien conocido el interés de Leonardo da Vinci por las matemáticas del arte y de la naturaleza, y esta proporción no le era indiferente. De hecho, en su estudio de la figura humana "El hombre de Vitrubio", puede verse cómo todas las partes del cuerpo humano guardan relación con la sección áurea.
¿Qué significa la cuadratura del círculo?
Cuadratura del círculo: problema matemático irresoluble en geometría que consiste en hallar, con sólo regla y compás, un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. Sólo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas.
La mayor parte de los estudios de Leonardo refleja una búsqueda continuada y ensayos constantes.
Únicamente la famosa hoja de Venecia, el llamado Hombre de Vitrubio, revela con su perfecta presentación formal, una determinación en este sentido.
Leonardo se oponía a las simplificaciones del canon técnica y metodológicamente condicionadas.
Este dibujo vuelve a plantear el problema de la finalidad de los estudios de proporciones de Leonardo.
Sin duda alguna, tales estudios trascienden una utilización estrictamente centrada en la obra.
La hoja de Vitrubio es más bien el indicio de una ambición mucho más extensa; entre los estudios de proporciones de Leonardo, ninguna otra hoja alcanza un nivel similar de exactitud.
Representa el hombre perfecto, en el que las relaciones entre las partes de su cuerpo son proporciones áureas.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:
"La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa".
Estudios como los del doctor polaco Gustav Fechner (1801-1887) han demostrado que la percepción de la belleza radica en la proporción áurea.
Pi aparece en todo lo que presenta forma de circunferencia, como por ejemplo las gotas de lluvia, las estrellas, los planetas, las burbujas de agua, las ondas de un estanque...
¿Tiene la armonía una expresión matemática?
Phi: el número áureo.
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| "Northern Lights chord" (Ernst Krenek, 1900/91) El acorde de auroras boreales de la Cantata de Ernst Krenek, compositor austríaco de origen checo, surge con el objetivo de:"acercarse estrechamente a un sólo objeto como un conjunto de timbres fusionados acorde a las hermosas luces del norte". "The Northern Light´s sounds, so icy and inpersonal and menacing, are a brilliant orchestral invention". Robert Erickson (1917-1997) En las estructuras de las sonatas de Mozart, en la Quinta Sinfonía de Beethoven, o en las obras de Schubert, de Debussy...: estos compositores, probablemente de una manera inconsciente, compusieron basándose en equilibrios de masas sonoras, los cuales estarían relacionados con el número áureo. La masa sonora de define como: "una textura musical, cuya composición minimiza la importancia de las alturas musicales, para preferir la textura, el timbre y la dinámica". |
"Se dice que una recta ha sido cortada en extremo y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor"
(Euclides "Los Elementos". Definición 3 del Libro Sexto).
El valor numérico de Phi es: 1,618033988749894..., y continúa así hasta el infinito.No representa más que una proporción. Supongamos que dividimos una barra de un metro en dos trozos desiguales, de forma que la proporción entre la barra entera y el segmento mayor sea justamente la misma que entre éste y el menor.
Esa proporción es el número áureo.
El número áureo aparece en la naturaleza, desde la imbricación de las semillas en ciertas flores hasta la organización de esa especie de escamas en las piñas y otros frutos, la distribución de las hojas de un tallo, etc.
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| Niké of Paeonius (425-420 a. C.) Olympia Archaelogical Museum "La Diosa griega de la Victoria" |
El número áureo es antiquísimo.
Su cálculo aparece ya en las obras del matemático griego Euclides
(IV-III a. C).
Sin embargo, en el siglo VI a. C., el filósofo griego Pitágoras, fundador de una secta místico-religiosa dedicada al estudio de las matemáticas, probablemente ya lo había investigado.
Los antiguos griegos se interesaron por Phi, en parte por su estrecha vinculación con la arquitectura y la escultura.
La geometría les permitía alcanzar la proporción entre las partes y el todo.
El edificio del Parthenon, levantado en la Atenas de Pericles (c.495-429 a. C.) es una de las primeras manifestaciones de la aplicación del número áureo en la arquitectura.
Por ejemplo, la distancia existente entre las columnas de su fachada es armónica.
De una belleza armónica es, asimismo, la diosa griega de la Victoria, de Paeonius de Mende (s. V a. C.), discípulo de Phidias.
Artistas matemáticos
El Renacimiento rescató de la Antigua Grecia las teorías geométricas aplicadas a la arquitectura y a la escultura.
Los artistas las enfocaron, sobre todo, en el hombre, considerado como la medida de todas las cosas.
Su relación con los matemáticos era muy estrecha. Un ejemplo lo hallamos en las figuras de Leonardo da Vinci y el matemático Luca Pacioli (c.1445-1517), autor de "La divina proporción". En esta obra, Pacioli propone un hombre perfecto, en el que las relaciones entre las partes de su cuerpo sean proporciones áureas.
Leonardo plasmó estas ideas en un dibujo, en el que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es Phi.
Es bien conocido el interés de Leonardo da Vinci por las matemáticas del arte y de la naturaleza, y esta proporción no le era indiferente. De hecho, en su estudio de la figura humana "El hombre de Vitrubio", puede verse cómo todas las partes del cuerpo humano guardan relación con la sección áurea.
¿Qué significa la cuadratura del círculo?
Cuadratura del círculo: problema matemático irresoluble en geometría que consiste en hallar, con sólo regla y compás, un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. Sólo se puede calcular por el método de repeticiones sucesivas.
La mayor parte de los estudios de Leonardo refleja una búsqueda continuada y ensayos constantes.
Únicamente la famosa hoja de Venecia, el llamado Hombre de Vitrubio, revela con su perfecta presentación formal, una determinación en este sentido.
Leonardo se oponía a las simplificaciones del canon técnica y metodológicamente condicionadas.
Este dibujo vuelve a plantear el problema de la finalidad de los estudios de proporciones de Leonardo.
Sin duda alguna, tales estudios trascienden una utilización estrictamente centrada en la obra.
La hoja de Vitrubio es más bien el indicio de una ambición mucho más extensa; entre los estudios de proporciones de Leonardo, ninguna otra hoja alcanza un nivel similar de exactitud.
Representa el hombre perfecto, en el que las relaciones entre las partes de su cuerpo son proporciones áureas.
El astrónomo Johannes Kepler (1571-1630) desarrolló un modelo platónico del sistema solar utilizando los sólidos platónicos, y se refirió al número áureo en términos grandiosos:
"La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de plata; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa".
Johannes Kepler en "Mysterium Cosmographicum" (El misterio cósmico)
Estudios como los del doctor polaco Gustav Fechner (1801-1887) han demostrado que la percepción de la belleza radica en la proporción áurea.
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| Leonardo da Vinci (1452-1519), La Mona Lisa (1503/06) El rostro de la Mona Lisa encierra también un rectángulo áureo perfecto. Se percibe, asimismo, la perfección de la belleza en la proporción áurea. Retrato de Lisa Gherardini (1479-1542), denominada Mona Lisa, o Gioconda, quien en 1495 contrajo matrimonio en Florencia a la edad de quince años con Francesco di Bartolomeo del Giocondo. El retrato de Lisa del Giocondo tuvo una enorme influencia en la pintura florentina, incluso antes de ser acabado. El rostro de Lisa aparece en el retrato clareado por una fuente de luz situada sobre el borde superior izquierdo del cuadro, a escasa distancia de la superficie del mismo. De este modo, la iluminación del semblante, que sería reflejo principal de la expresión del alma, se revela como un artificio que subraya la voluntad de Leonardo de obtener un juego concreto de luces y sombras en su composición. |
